分式分解成部分分式时的困惑（49）

Question

分式分解成部分分式：X^3／（X－1）（X－2）（X－3）。解设原式＝1＋A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）。去分母得 X^3＝（X－1）（X－2）（X－3）＋A（X－2）（X－3）＋B（X－1）（X－3）＋C（X－1）（X－2）。令X＝1 得A＝1／2 令X＝2 得B＝－8 令X＝3 得C＝27／2。【我的困惑是：我不知道令X＝1是如何得来的，是通过计算还是推导得来的？另外：为什么要设原式＝1＋A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）而不设原式＝A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）。为什么要用 1 加 A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）？是跟据什么这样设？。请指教！】劳驾！

Answer 1

前面加1是因为原分式的分子最高次幂项为X^3，假如只用A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）的话，无论A、B、C取什么值， 因式A／（X－1）＋B／（X－2）＋C／（X－3）通分，分子上能出现的最大次幂最多只能是X的两次方，所以前面加上一个数字是为了通分的时候能得到X的三次方。
至于为什么是加1而不是加2或其他值，因为原分子X^3的系数为1，分母的X^3的系数也为1，只需要1就可以在通分时得到分子上的X^3了，同理，假如分子是2*X^3，那么我们假设的时候前面就是加2。
不知道你明白了没有-_-