∫tf(x)dt求导得什么 x∫f(t)dt求导得什么 (上限均为X,下限均为0)

Question

这是怎么变来的？

Answer 1

这里是对x求导，而不是t，
对积分上限函数求导就把上限x代替积分函数中的t 即可，
所以
∫(0到x) f(t) dt的导数就是f(x)
而∫(0到x) t *f(t)的导数就是x *f(x)，
x的导数则是1
所以
F(x)=x *∫(0到x) f(t) dt - ∫(0到x) t *f(t) dt
求导就得到
F '(x)=x *[∫(0到x) f(t) dt] ' +x' * ∫(0到x) f(t) dt - [∫(0到x) t *f(t) dt] '
=x *f(x) + ∫(0到x) f(t) dt -x *f(x)
=∫(0到x) f(t) dt