解:分享一种解法。
设x=-t,则J=∫(-π/2,π/2)(sint)^2arctan[e^(-t)]dt,
∴2J=∫(-π/2,π/2)(sinx)^2{arctan[e^(-x)]+arctan(e^x)}dx。
再设y=arctan[e^(-x)]+arctan(e^x),两边对x求导,有y'=0,∴y对任意x为常数,∴令x=0,则y=π/2,
而(sinx)^2=(1/2)(1-cos2x)、且为偶函数,∴2J=(π/2)∫(0,π/2)(1-cos2x)dx=(π/2)^2,
∴J=(1/8)π^2。
供参考。
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