1、引力势能公式微积分推导过程如下图，mgh适合地面上g不变化的情况，而GMm/r适用于太空。
2、引力势能公式普通推导过程如下：
在太空中所受的万有引力 相当于人在地球上所受的重力一般,是一个保守力（做功只与初末位置有关）
然后我们假设在太空中有这样的两个星体AB,质量分别为M1，M2,相距r1。
当B星体向它们的连心线AB（其实就是万有引力的方向上）向外移动一段距离△r时,
其距离改变为r2 ,r1+△r→r2,考虑△r很微小,可近似为r1=r2。
同时在改变的过程中由于△r很微小,∴它们的万有引力是不变的。
所以：万有引力在由r1+△r→r2所做的功就是W1=Gm1m2/r1²×△r=(Gm1m2/r1r2)×（r2-r1)
=Gm1m2/r1-Gm1m2/r2
同理考虑无穷个这样的△r可得W2= Gm1m2/r2-Gm1m2/r3
W3=Gm1m2/r3-Gm1m2/r4
W4=Gm1m2/r4-Gm1m2/r5
…………………………
WN=Gm1m2/r n-1 -Gm1m2/rn
然后累项相加得W1+W2+W3+W4……+WN=Gm1m2/r1-Gm1m2/rn
因为N趋近于无穷大,所以Gm1m2/rn就为零了∴从原处到无穷远的万有引力做功为-Gm1m2/r1,又因为 W万=EP1-EPN=
-Gm1m2/r1,EPn=0 所以EP1=-Gm1m2/r1 所以得星体A在原来的万有引力势能为EP1=-Gm1m2/r1 ∴对于任意星体都满足E=-GMm/r
扩张资料：
引力势能证明
以地球为例，设地球质量为M，其无穷远处为势能零点，则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球r处时，引力消耗势能做功为
Wp=
其中
为移动过程中的任意微小位移。
对于距离地球x初的质量体m，其引力F=
，
则当质量m由无穷远处移动到距地球r处，有
Wp=
=
解得Wp=
当质量体m由无穷远处（零势能点）移动到距离地球r处，引力做功Wp=
，即引力势能减少了这么多，则该处的引力势能
Ep=0
=
参考资料来源：百度百科-引力势能
引力势能是指由于物体在地球或其他天体的引力场中所具有的能量。其微积分公式可以通过对势能进行微分得到：
dU = -F dr
其中dU表示微小的势能变化，F表示作用在物体上的重力力量，dr表示物体在垂直于力方向上的微小位移。
重力势能是引力势能的一个具体案例，针对重力场而言。重力场是指地球或其他天体所产生的引力场。重力势能的微积分公式如下：
dPE = -mg dh
其中dPE表示微小的重力势能变化，m表示物体的质量，g表示地球的重力加速度（通常近似为9.8 m/s^2），dh表示物体在竖直方向上的微小位移。
这些微积分公式描述了在引力场中物体势能的变化，利用微分的概念来定量描述引力对物体的能量影响。通过积分这些微分公式，可以计算出物体在某一位置上的引力势能或重力势能值。
需要注意的是，这些公式基于物体在引力场中的运动，并假设引力场是恒定的。在一些特殊的情况下（例如在其他引力场中的物体运动），这些公式可能需要进行适当的修改。