在矩阵中，什么是对角阵？什么是方阵的特征值对角阵？

Question

如题所述

Answer 1

在矩阵的世界中，对角阵是一种特殊的矩阵形式，其显著特征是除了对角线上的元素外，其他所有元素均为零。这种矩阵可以用数学表达式 Ax=(λ)x 来描述，其中 A 是对角阵，λ 是对应的特征值。当这个方阵满足 Ax = (λ)x 这样的方程组时，可以发现矩阵 A 减去特征值 λ 的差 A - (λ) 的行列式会等于零，即 |A - (λ)| = 0。这个等式可以用来找出矩阵的 N 个特征值，并将它们排列在对角线上，形成所谓的特征值对角阵。

值得注意的是，不是所有的矩阵都能被对角化，也就是说，并非所有矩阵都能通过相似变换转化为对角阵。即使能够对角化，求得的特征值也不一定都是实数。然而，一旦矩阵被成功对角化，其迹（即对角线上元素之和）会保持不变，这是一个重要的性质。对角化在许多数学计算和理论分析中具有显著的实用价值，尽管这里无法详述所有例子，但其重要性不言而喻。