求一阶微分方程的通解 并分析解题过程

Question

如果一阶微分方程可化为形如dy/dx=fai(y/x)的方程，则称其为齐次方程，求解齐次方程只要作变换v(x)=y/x,可将其化为关于变量v与x的可分离变量的方程，从中求出v=v(x),进而得通解y=y(x).求方程y'=y/(y-x)的通解.
答案为2xy-y^2=C

Answer 1

解法一：（全微分法）
∵y'=y/(y-x)
==>ydx-(y-x)dy=0
==>(ydx+xdy)-ydy=0
==>∫(ydx+xdy)-∫ydy=0
==>xy-y^2/2=C/2 (C是常数)
==>2xy-y^2=C
∴此方程的通解是2xy-y^2=C。
解法二：（分离变量法）
∵令y=xv，则y'=xv'+v。代入原方程，化简得
==>2dx/x=[1/(2-v)-1/v]dv
==>2ln│x│=-ln│2-v│-ln│v│+ln│C│ (C是非零常数)
==>x^2=C/[v(2-v)]
==>x^2=C/[(y/x)(2-y/x)]
==>x^2=Cx^2/[y(2x-y)]
==>y(2x-y)=C
==>2xy-y^2=C
∴此方程的通解是2xy-y^2=C。