求微分方程 f ''(x)+f(x)=2e^x 满足 f(0)=0,f'(0)=2的特解
解:齐次方程 f''(x)+f(x)=0的特征方程 r²+1=0的根 r₁=i,r₂=-i;
故齐次方程的通解为:y=C₁cosx+C₂sinx;
设其特解为:y*=ae^x; 则y*'=ae^x; y*''=ae^x;
代入原方程,并消去e^x得:2a=2,∴a=1;故y*=e^x;
∴原方程的通解为:y=C₁cosx+C₂sinx+e^x;
故y(0)=C₁+1=0; ∴C₁=-1; y'=-C₁sinx+C₂cosx+e^x,y'(0)=C₂+1=2,故C₂=1;
∴满足初始条件的特解:y=-cosx+sinx+e^x;