求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1绕x轴旋转所成旋转体的体积（用微积分计算）

Question

如题所述

Answer 1

考虑对称性，只对第一象限的1/4图形旋转，再乘以2即可。

绕X轴体积：V1=2π∫[0，a] (b^2-b^2x^2/a^2)dx

=2π(b^2x-b^2x^3/3)[0,a]

=2π[b^2a-b^2a^3/(3a^2)]

=2π(2ab^2)/3

=4πab^2/3

创立意义

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门学科的创立并不是某一个人的业绩，而是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样。

Answer 2

旋转椭球体的体积，把它看成是椭圆沿长轴或短轴旋转而成的：

①zhiV=4πaab/3 (以短轴2b为旋转轴)。

②V=4πabb/3 (以长轴2a为旋转轴) 

y=(b/a)*√(a^2-x^2)就是原来的椭圆的变形。

结果为V=4πabb/3

上半：y=(b/a)*√(a^2-x^2)

下半：y=-=(b/a)*√(a^2-x^2)

例如：

椭圆方程：y^2=b^2-b^2x^2/a^2, x^2=a^2-a^2y^2/b^2

绕X轴体积,V1=2π∫[0,a] (b^2-b^2x^2/a^2)dx

=2π(b^2x-b^2x^3/3)[0,a]

=2π[b^2a-b^2a^3/(3a^2)]

=2π(2ab^2)/3

=4πab^2/3

同理绕Y轴体积：

V2=2π∫[0,b] (a^2-a^2y^2/b^2)dy

=2π[0,b][a^2y-a^2y^3/(3b^2)]

=2π[a^2b-a^2b^3/(3b^2)]

=2π(2a^2b/3)

=4πa^2b/3

扩展资料：

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，可以用切线段来近似代替曲线段。

参考资料来源：百度百科-微积分

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Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

绕x轴

绕y轴

备注

例题

Answer 4

如图

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Answer 5

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