第1个回答 2014-03-23
函数的传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的近代定义：设A，B都是非空集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，集合A叫做函数f(x)的定义域。若集合C是函数f(x)的值域，显然有C⊆B。符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数值，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式。
对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function"一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。
直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来
。
19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。本回答被网友采纳