引导学生利用几何证明基本不等式

Question

基本不等式中有一个几何证明的方法，是在一个圆当中，利用边长来证明的。具体如下：
AC=a,BC=b,则OD=（a+b）/2,由射影定理可以得到DC=根号（ab）。
所以OD>DC,即（a+b）/2>根号（ab）.
这个图形出来之后其实证明还是挺简单的，但是请问我要怎么引导学生才能想到这个图形呢？

Answer 1

怎么都稍微有些牵强，因为几何法相对于麻烦，但是如果是要为了扩散他们的思维的话我会这样讲：
1）我们看到的是a+b，用几何，一般怎么来表示呢，一般都会画一条线段，然后在上面点一点，也就是图中的ACB
2）(a+b）/2就是AB的中点，也就是AO或BO的长度
3）根号ab，这个就比较难了，所以我说的牵强就是这个地方，我认为学生是不会想到它是三角形的高的，所以要自己画出CD，说如果我垂直于C点做AB的垂线，使他的长为根号3，那么连接AD，BD，来看ABD为什么三角形，因为ab=根号ab的平方。所以a/根号ab=根号ab/b，所以三角形相似，对应角相等，然后知道ABD为直角三角形
4）然后之前学习的时候应该有注意到，过直角三角形的三点做圆的话，圆心就是斜边的中点，这个点就是O，那么（a+b）/2就是半径=OD
5）从图上可知OD≥DC
6）所以（a+b）/2≥根号（ab）.
所以其实你的之前写的（a+b）/2>根号（ab）.是不对的，当a=b时，两者相等

Answer 2

答：

因为：AB是直径，(a+b)/2可以想到直角三角形斜边的一半就是斜边中线的长度OD
所以：构造a+b为直径的圆O，AB为直径
所以：可以作斜边AB上的高，垂足为C，令AC=a，BC=b.........

再一个是利用：直径所对的圆周角为90度
所以：三角形ADB是直角三角形

Answer 3

就现有的教材体系想到这个证明方法不大可能，因为缺乏想到这一方法的基础。
如果是以前的老教材，有相交弦定理，还讲了该定理的一个推论：弦的一半是该弦分直径所得两条线段的比例中项。课后还配了一个例题，画一个正方形使它的面积等于已知矩形的面积。有这些知识为铺垫，知道√(ab)怎么表示，想到上一方法并不难。
可现在的教材这些知识全没有了，学生根本不可能知道怎样表示√(ab)，当然就不可能想出上述方法。
要想引导学生得出上述证法，起码得解决如何得到两条线段a、b的比例中项√(ab)的方法，否则，一切都免谈。本回答被提问者和网友采纳