为什么函数在x等于0处不可导？

Question

如题所述

Answer 1

在数学上，函数在某个点可导的条件是其在该点的左导数等于右导数，且左右导数都存在。左导数表示函数在该点左侧的斜率，右导数表示函数在该点右侧的斜率。
当考虑函数 f(x) = |x|，在 x = 0 处时，我们需要计算左导数和右导数。
左导数为 f'(0-) = lim (x0-) (f(x) - f(0)) / (x - 0)
右导数为 f'(0+) = lim (x0+) (f(x) - f(0)) / (x - 0)
因在 x = 0 处，左侧和右侧的函数图像是不同的，所以我们需要分别计算。
左导数为 f'(0-) = lim (x0-) (|x| - |0|) / (x - 0) = lim (x0-) (-x) / (x) = -1
右导数为 f'(0+) = lim (x0+) (|x| - |0|) / (x - 0) = lim (x0+) (x) / (x) = 1
由于左导数 (-1) 不等于右导数 (1)，所以函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处不可导。
综上所述，x的绝对值在 x 等于 0 处不可导。