以青蛙跳跃的荷花池为例，我们考虑的状态空间E，即荷叶的编号集合。马尔可夫性意味着在任意时间点n，青蛙的跳跃概率仅依赖于当前的位置，即
P[x(n)=in|x(0)=i0,x(1)=i1,...,x(n-1)=i(n-1)] = P[x(n)=in|x(n-1)=i(n-1)]
这里，n和m的区别在于，转移概率只与前一步相关，而非前n步。如果随机变量序列Xn满足这个条件，我们称之为马尔可夫链。如果转移概率与步数无关，即为齐次马尔可夫链，其转移概率可以用转移矩阵P来描述。每个齐次马尔可夫链的动态可以通过一步转移矩阵来刻画，P的元素非负且每行和为1，这样的矩阵称为随机矩阵。
例如，考虑一个具有反射壁的随机游动，质点在0到M的整数点上移动，每步向右或左移动一个单位。转移矩阵P确定了质点的移动概率。若将P的第一行设为(1,0,...,0)，则0为吸收壁，质点一旦到达则停止移动。
为了深入研究，马尔可夫链的状态被分类。状态i和j之间的直接转移记为i→j，如果还存在j到i的转移，则记作i凮j。图形可以直观地表示链的运动轨迹，如闭集C中的状态会永远在C中循环，而常返状态i有100%的概率回到自身。
状态空间E可分解为非常返状态集合E0和不可约常返闭集Eα的并。马尔可夫链的运动特点是，要么在E0中无限转移，要么进入一个常返类Eα后永远循环。马丁边界理论深入研究了链在E0中的行为，它引入了距离概念，使得Xn在概率1下收敛于这个距离下的极限。
一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在）的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。 例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。