如何判断级数发散或收敛？

Question

如题所述

Answer 1

要判断一个级数的收敛性，有多种证明方法。首先，对于正项级数如1/n²，可以通过比较通项与相邻项之差来确定收敛性，如1/n²小于1/（n-1）n，显示出它是收敛的。另外，利用极限理论，比如1/n*tan(1/n)与1/n²的敛散性相同，如果后者的1/n²收敛，那么原级数也收敛。

在更一般的情况下，判断级数的敛散性需要根据级数的类型进行。对于正项级数，首先检查通项是否趋于零；如果是几何级数或p级数，收敛性已知；否则，可以使用比值判别法、根值判别法，或者通过比较与已知收敛级数（如几何级数或p级数）来判断。

交错级数的判断则需要莱布尼茨判别法，以及考虑绝对级数与原级数的关系。值得注意的是，如果绝对级数发散，通常意味着原交错级数也发散，但并非绝对，需要结合具体方法进行判断。

总的来说，判断级数收敛性涉及观察通项的性质、比较法、极限理论以及特定级数类型的特性，通过这些步骤，我们可以有效地确定级数的收敛或发散状态。