给定三个向量如何求平行六面体的体积？

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们可以使用向量的行列式来计算平行六面体的体积。给定三个向量a=(-1,0,2)，b=(8,-2,3)，c=(1,9,7)，我们可以构建一个3x3的矩阵，其中每一列是一个向量的坐标。然后，计算这个矩阵的行列式的绝对值，即可得到平行六面体的体积。

矩阵的行列式计算公式为： |a b c| = a·(b×c)

其中，a·(b×c)表示向量a与向量b×c的点积。

向量b×c的计算公式为： b×c = (b2c3 - b3c2, b3c1 - b1c3, b1c2 - b2c1)

将向量a=(-1,0,2)，b=(8,-2,3)，c=(1,9,7)代入计算，得到： b×c = ((-2)×7 - 3×9, 3×1 - 8×7, 8×9 - (-2)×1) = (-23, -53, 74)

然后，计算a·(b×c)： a·(b×c) = (-1)×(-23) + 0×(-53) + 2×74 = 23 + 0 + 148 = 171

最后，取行列式的绝对值，即得到平行六面体的体积： |a b c| = |(-1,0,2) (8,-2,3) (1,9,7)| = |171| = 171

所以，给定的三个向量构成的平行六面体的体积为171。

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平行六面体的性质有哪些？

第一，如果当表面积确定的时候，那么在所有的平行六面体中正方形的体积一定是最大的。

第二，当图形的所有侧面积确定时，这时候长方体的体积在所有平行六面体中一定最大。

第三，对于一个平行六面体来说，它的四条对角线相交的地方就是这个几何图形的中点。

第四，对于平行六面体来说，所有对角线的平方相加的结果与所有棱长的平方相加的结果相同。

第五，如果一个平面经过了平行六面体的中心，那么它就可以将其分割成相等的两部分。