初三数学题函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3，0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围？

Question

函数y=-X^2+9与X轴交于A（-3，0）,B（3,0)两点,设抛物线上有P点,使角APB小于45°,求P点范围？怎么解答

Answer 1

y = -x²+9,开口向下，对称轴x=0,与X轴交于A（-3，0）,B（3,0)两点
过A点向右上方做射线AC，使∠CAB=45°，射线与抛物线在x轴上方交于C点；
过A点向右下方做射线AD，使∠DAB=45°，射线与抛物线在x轴下方交于D点。
AC的斜率为k1=tan45°=1，AD的斜率k2=tan(-45°)=-1
AC与y轴交于E，AD与y轴交于F，三角形OAE和三角形OAF都是等腰直角三角形
OE=3，OF=3
即AC所在直线的截距b1=3，AD所在直线的截距b2=-3
根据直线的斜截式
AC所在直线方程为y=x+3，AD所在直线方程为y=-x-3
将y=x+3代入y=-x²+9得：x+3=-x²+9，即x²+x-6=0，(x+3)(x-2)=0，x1=-3，x2=2，A点横坐标3，∴C点横坐标为2；代入y=x+3得C点纵坐标5，即C(2,5)
将y=-x-3代入y=-x²+9得：-x-3=-x²+9，即x²-x-12=0，(x+3)(x-4)=0，x1=-3，x2=4，A点横坐标3，∴D点横坐标为4；代入y=-x-3得D点纵坐标-7，即D(4,-7)
综上，P点范围在抛物线上C(2,5)、D(4,-7)两点之间（不包含C、D两点）。追问

不好意思，是角APB，不是角PAB。随意解答貌似欠妥当

追答

抛物线：y=-x²+9
令，P点横坐标为m，则纵坐标为-m²+9=9-m²
PA²=(m+3)²+(9-m²)²，PA=√{(m+3)²+(9-m²)²}
PB²=(m-3)²+(9-m²)²，PB=√{(m-3)²+(9-m²)²}
AB²=（3+3)²=36
根据余弦定理：
cosAPB = (PA²+PB²-AB²)/(2PA×PB)
= { (m+3)²+(9-m²)² + (m-3)²+(9-m²)² - 36 } / { 2×√[(m+3)²+(9-m²)²] ×√[(m-3)²+(9-m²)²] }
∠APB＜45°
√2/2＜cosAPB＜1
{ (m+3)²+(9-m²)² + (m-3)²+(9-m²)² - 36 } / { 2×√[(m+3)²+(9-m²)²] ×√[(m-3)²+(9-m²)²] }＞√2/2,并且{ (m+3)²+(9-m²)² + (m-3)²+(9-m²)² - 36 } / { 2×√[(m+3)²+(9-m²)²] ×√[(m-3)²+(9-m²)²] }＜1，解不等式求得m的范围.

追问

bingo，这是一种解法。
问题有2，其一，这个解法过于复杂，需要庞大的计算。其二，初三学生没有学过余弦定理……

追答

额。。。初中方法？还45°？
怀疑这是出错题了，APB不大于90°的话可能还好说。
45°的话，还是PAB或PBA还差不多。。。

Answer 2

尼玛、、、老子不用余弦定理还不会解这题了。不知道怎么用初中知识解答了。