有限长序列的DFT与周期序列的DFS有何联系？

Question

如题所述

Answer 1

我们有这样一个规律，周期信号，其频域变换叫做傅里叶级数。非周期信号，频域变换叫做傅里叶变换。
再来一个，在一个域中做抽样，即离散化，那么在另一个域中就周期延拓。在一个域中做周期延拓，在另一个域中就做抽样变换，即离散化。
细化如下，如果时域抽样频率为f，那么频域周期延拓，其周期也为f。同理，频域抽样频率为F，那么时域周期延拓的周期是F。
周期性序列是连续周期模拟信号的离散化，所以它对应在频域上做的是周期延拓，所以只取主值区间就行。
DFT即离散傅里叶变换可以这样理解，它是DFS频域上的函数乘以一个区间长度为N，高度为1的矩形窗，即DFS频域的主值区间。
我们记住这点就行，凡是说到离散傅里叶变换关系之处，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意义。
啰嗦过多，希望能掰扯明白.

Answer 2

一言以蔽之，DFS是具有周期性的，也即离散傅里叶级数的系数是周期的、无限多的，波浪号代表的是周期性，而n~N-1是只拿出一个周期来求级数的系数；
DFT呢，它的变换的对象就是N个点,没有周期性（或者说是隐含了周期性）。
所以看上去两个变换都是N个点，其实一个（DFS）是周期序列，只取出一个周期来求级数的系数；另外一个（DFT）是一个有限长序列，它不具有或者说隐含着周期性。