高一数学三角函数题！ 求详细过程！！

Question

高一数学三角函数题！
求详细过程！！

Answer 1

1.
a/cosA=b/cosB，由正弦定理，
sinAcosB=cosAsinB，
sin(A-B)=0，-π<A-B<π，
A-B=0，A=B.
A+B=π-C，2A=π-C，cos2A=-cosC.
(1- cos2A)(2-cosC)=1+ cos2A+1，
(1+cosC)(2-cosC)=2-cosC，2-cosC>0，
1+cosC=1，cosC=0，C是三角形内角，C=π/2.
2.
设AB边上的高为x，则
S△ABC=1/2•x(x+√(4-x^2)）， 0<x≤2.
设x=2sinα，0<α≤π/2.
S△ABC=2sin^2α+sin2α
=1-cos2α+sin2α
=1+√2sin(2α-π/4)，-π/4<2α-π/4≤3π/4，-√2/2<sin(2α-π/4)≤1，
0<S≤1+√2.
亲，此小题的几何意义是：已知三角形的外接圆的π/4圆周角A所夹弦长AC为2，求三角形ABC面积的最大值。
可知当三角形ABC为等腰三角形时面积最大。

Answer 2

a/b=sinA/sinB ,a/b=cosA/cosB
sinA/sinB =cosA/cosB
sinB cosA=sinAcosB
sinB cosA-sinAcosB=0
sin(B-A)=0
A=B
又,(sinA)^2(2-cosC)=(cosB)^2+1/2
(sinA)^2[1+(1+cos2A)]=1-(sinA)^2+1/2
(sinA)^2[1+2(cosA)^2)]=3/2-(sinA)^2
(sinA)^2[3-(sinA)^2]=3/2-(sinA)^2
4(sinA)^4-8(sinA)^2+3=0
[2(sinA)^2-1][2(sinA)^2-3]=0
(sinA)^2=1/2 或(sinA)^2=3/2
sinA=√2/2 或 sinA=√6/2>1(舍去)
A=π/4

A=B=π/4
C=π/2
2)A=π/4 ,a=2
2R=b/sinB=c/sinC=a/sinA=2/√2/2=2√2
S=1/2bcsinA=1/2*(2R)^2sinBsinCsinπ/4
=1/2*(2√2)^2sinBsinC*√2/2
=2√2sinBsinC
=sin(3π/4-B)
=2√2sinB(√2/2cosB+√2/2sinB)
=2sinBcosB+2(sinB)^2
=sin2B+(1-cos2B)
=sin2B-cos2B+1
=√2sin(2B-π/4)+1
B在(0,3π/4)
2B-π/4在(-π/4,5π/4)
sin(2B-π/4在(-π/4,5π/4)值域为:这(-√2/2,1]
S=√2sin(2B-π/4)+1值域为:这(0,1+√2]
S的取值范围是:(0,1+√2]

Answer 3

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