求教这道二维正态分布问题画红圈的地方，为什么X-Y~N（0，2σ ²），P＝1/2？

Question

求教详细，谢谢

Answer 1

∵(X,Y)~N(μ,μ,δ²,δ²,0)，其中，相关系数ρ=0，∴X、Y相互独立，且X~N(μ,δ²)、Y~N(μ,δ²)。
按照独立正态分布的线性组合性质，X-Y~N[E(X-Y),D(X-Y)]。而，E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ-μ=0、D(X-Y)=D(X)+D(Y)=δ²+δ²=2δ²，
∴X-Y~N[E(X-Y),D(X-Y)]=N(0,2δ²)。∵其均值μ=0，根据分布的对称性，∴P(X-Y<0)=1/2。
供参考。追问

最后那个根据对称性x-y和1/2能再讲一下吗

追答

详细过程是，∵X~N(μ,δ²)，其密度函数f(x)=Ae^[-(x-μ)²/(2δ²)]，A=1/[δ√(2π)]。∴f(x)关于x=μ对称。
而，P(-∞<X<∞)=P(-∞<X<μ)+P(μ<X<∞)=∫(-∞,μ)f(x)dx+∫(μ,∞)f(x)dx=1，∫(-∞,μ)f(x)dx=∫(μ,∞)f(x)dx，∴∫(-∞,μ)f(x)dx=1/2。
供参考。