函数的连续性与一致连续型的区别是什么

Question

高手回答说一致连续比连续严格，在区间上一致连续的函数连续，但连续的函数不一致连续，可是书中定理明明白白的写着，如果函数在闭区间连续，那么它在该区间一致连续。到底是哪个更严格呢？有没有连续函数却不一致连续的？

Answer 1

你说的都对。连续函数在闭区间内确实是一致连续的，但开区间就不一定。

连续函数的定义是每一个点都连续，而对同一个epsilon>0，每一个点所对应的delta是不同的。但一致连续要求有一个确定的delta，满足所有的点，所以更加严格。
一致连续的定义：任意epsilon>0,存在delta>0，使得对于任意(x,y)，|x-y|<delta能推出|f(x)-f(y)|<epsilon。

连续函数不一致连续的例子：f(x)=x^2。你可以用定义验证一下

Answer 2

连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。
一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。
一致连续可以推出连续，反之不然。

Answer 3

一致连续比连续严格，在闭区间上一致连续的函数连续，但连续的函数不一定一致连续

你要搞清楚区间和闭区间是有区别的

函数y=1/x就不一致连续

Answer 4

区别在于一致连续要求作右端点重合,连续只要求左右在同一X上