一道高二概率题，急求！

Question

一个半圆，半径为1，在弧上任取两点，求连线的长度大于“根号3”的概率！
列出详细结果！

Answer 1

半圆周长等于(2 π r)/2 所以等于 圆弧长为π>3.1415926……
所以概率为 开方3/π就是概率！

Answer 2

图应该为六个点:

α的取值区间为120≤α≤180度 

所以概率p(α)=1/3 

为错误答案！

s^2=r^2+r^2-2rrcosα （这个我就不多说了） 

∠AOB=∠BOC=∠COD=60度 

因为α的取值区间为120≤α≤180度 

当两点为........

0~30度之间弧上的点与150~180度之间弧上的点,

随便取两点都大于根号“根号3”！

所以概率为1/6 * 1/6=1/36

当两点为........

0~30度之间弧上的点与120~150度之间弧上的点,

只有1/2的概率能够得到两点都大于根号“根号3”！

如121只能减1度以下的,而149减去29以下的(应该懂的吧)

所以这个的概率为1/6 * 1/6*1/2=1/72

同理当两点为........

30~60度之间弧上的点与150~180度之间弧上的点,

所以这个的概率为1/72大于大于根号“根号3”！

总结1/36+1/72+1/72=1/18

Answer 3

设两点之间的长度为s，两点与圆心连接形成的圆心角为α，0≤α≤п则
利用三角形已知两边和夹角求第三边的方法
s^2=r^+r^2-2rrcosα
＝1＋1－2cosα
=2-2cosα
根据题意有s^2≥3，即2-2cosα≥3

cosα≤－1/2
α≥120度
α的取值区间为120≤α≤180度
所以概率p(α)=1/3

Answer 4

若第一点已经取定，则第二点必须满足和第一点夹角大于120度，所以第二点可选的范围是远离第一点的1/3圆周. 这样概率就是（记M=S^2是圆环）
(2π * 2π/3) / (2π * 2π) = 1/3

Answer 5

我觉得概率是2/9。
设半圆直径所在直线的其中一头为正方向，将圆心到弧上所取的两点作的射线的方向与所取正方向所成的角分别记为x、y，则x、y的取值范围：0<=x<=π，0<=y<=π，这在x、y为轴的平面区域上是个面积为π^2的正方形区域；这两点连线长度大于√3这个条件等价于|x-y|>2π/3，这又相当于在x、y为轴的平面上两条平行直线外的区域，则取值范围在上述正方形区域又满足此条件的区域是两个边长分别为2π/3、π/3的直角三角形，面积之和为2π^2/9；概率为面积之比(2π^2/9)/(π^2)=2/9

Answer 6

用极坐标来思考
设a,b为角度且 a,b均在[0,180]范围内
其中对应a的点坐标为(cos a,sin a)
其中另一点为 (cos b,sin b)
两点之间的距离平方为 (sina-sinb)^2+(cosa-cosb)^2
=sina*sin2-2sinasinb+sinb*sinb+cosa*cosa-2cosacosb+cosb2
=2-2sinasinb-2cosacosb
=2-2cos(a-b)
要求2-2cos(a-b)>3
即-2cos(a-b)>1
cos(a-b)<-1/2
|a-b|>120其中 0<=a,b<=180
想办法得到a-b的概率分布函数即可。
假设a在(120,180]区间内时
a取范围(θ,θ+dθ),概率为dθ/180则b的取值范围为 (0,θ-120),在这个范围的概率是(θ-120)/180
两都相乘得 (θ-120)dθ/32400
这个式对dθ在(120,180)进行积分即可求得概率p
同理b在(120,180]区间时变可求理概率p
然后结果就是2*p
我的积分公式也忘记了，你自己计算吧
你也可以再弄一个悬赏问题，问2(θ-120)dθ/32400 在(120,180)的积分结果