用洛必达法则之前,一定要化简。不然即使有极限,表达式太复杂求导也不方便。
像第一题
lim_{x->无穷}[(x+sinx)/x]
= lim_{x->无穷}[1 + sin(x)/x]
= 1 + lim_{x->无穷}[sin(x)/x]
= 1 + 0
= 1.
不需要用洛必达法则。
洛必达法则是说,求导后极限存在的情况下,求导前后的极限相等。
所以说,“求导后极限存在”,是,“求导前后的极限相等”,的充分条件,但并不是必要条件。
这样,当求导后极限不存在时,不能给出“求导前的极限也不存在”的结论。
但,确实和你说的一样,
当求导后的极限是无穷时,也可以说,求导前的极限是无穷。
我理解,极限是无穷是一种非常特别的极限不存在的情形。
实际上,如果把无穷远点也考虑进来的话,可以认为极限是无穷的情形是有极限的情形。
从极限的定义中也可以看出这点来。
在给完极限是有限数的定义后,特别给出了极限是无穷的定义。
在给完x趋于有限数的极限的定义后,特别给出了x趋于无穷的极限的定义。
可是,这道题,如果用洛必达法则,求导后的函数是在0和2之间不断震荡的,并不是趋于无穷,因此,不符合应用洛必达法则的条件。
如果把第1题改成
lim_{x->0}[(x+sinx)/x],
用不用洛必达法则都可以,
不用的话,lim_{x->0}[(x+sinx)/x] = lim_{x->0}[1 + sin(x)/x]
= 1 + 1
= 2.
用的话,lim_{x->0}[(x+sinx)/x] = lim_{x->0}[1 + cos(x)]
= 1 + 1
= 2.
第2题.
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]
可以用洛必达法则,
但用之前一定要化简。
要是直接用,求导就非常麻烦了。
化简的方法是,
(1)极限非零的乘性因子可以先计算出来;
(2)尽量利用等价量代换来使得函数式子变得简洁。
(3)可以分别计算的时候,就分别计算。
这道题里,乘性因子[1/(1+cosx)]的极限为1/2,可以在求导之前先提出来。
ln(1+x)可以等价代换为x.
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]
= lim_{x->0}[1/(1+cosx)]lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/x*lim_{x->0}[ln(1+x)/x]
= (1/2)lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/x
现在可以用洛必达法则了,但你真的想用吗?我看见要对cos(1/x)求导,头有些晕。如果有可能不用求导,我一定不求导。
这个时候,我会选择分别计算。
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]
= (1/2)lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/x
= (1/2)lim_{x->0}[3sin(x)/x] + (1/2)lim_{x->0}[xcos(1/x)]
第一个极限 = 3/2,
第二个是有界量乘无穷小量,极限是0,
因此,
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos(1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]
= (1/2)lim_{x->0}[3sin(x)/x] + (1/2)lim_{x->0}[xcos(1/x)]
= 3/2 + 0
= 3/2
所以说,第2题虽然可以用洛必达法则,但为了避免复杂函数的求导运算,也可以不用洛必达法则。
洛必达法则很漂亮,很诱人,
但每次用洛必达法则之前,一定要化简。
要不然,洛必达法则只是一个美丽的陷阱。。。
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