外积定义

Question

如题所述

Answer 1

外积的定义是将两个向量通过特定规则结合起来，其符号表示为a×b。其大小由两向量的模长和夹角决定，即|a|·|b|·sin，方向则遵循右手定则，当坐标系符合右手定则时，通过伸开右手并沿x和y轴移动手指，大拇指指向的方向即为z轴正方向，所得到的z向量。

外积的坐标表示更为直观，两个向量（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）的外积结果为（y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2-x2y1）。值得注意的是，外积满足分配律，即a×(b+c) = a×b + a×c，这个性质可以通过图形验证，但具体过程较为复杂，推荐自行查阅相关文献。

证明外积的分配律时，首先利用了外积的反对称性（a×b= - b×a）以及内积（点积）的分配律。混合积的性质进一步被用来定义（a×b）·c，这个混合积的值等于以a,b,c为边的平行六面体的体积，且有（a×b）·c = a·（b×c）。这些性质一起构成了分配律的证明基础。

具体证明中，设r为任意向量，利用混合积的性质和内积的分配律，可以推导出r·（a×（b+ c)) = r·（a×b+ a×c），这表明a×（b+ c) - (a×b+a×c）垂直于所有向量，由于其为零向量，从而得出a×（b+ c) = a×b+a×c，完成了分配律的证明。