第1个回答 2009-03-09
自己编起来吧！！！
1．斜率及斜率公式：
倾斜角：
倾斜角与斜率的关系：
2．直线方程的五种形式
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
3．两直线平行与垂直
4．方程组的解与交点个数的关系
直线系方程：
5．两点间距离公式：
中点公式：
点到直线的距离公式：
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1‖l2
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l‖AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
例26：求平行线和的距离.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan300＝
∵l2的倾斜角α2＝900＋300＝1200，
∴l2的斜率k2＝tanα2＝tan1200＝－tan600＝－
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
解：这条直线经过点P1(－2，3)，斜率是 k＝tan450＝1.
代入点斜式方程，得y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0
这就是所求的直线方程，图形略
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
解：直线AB过A(－5，0)、B（3，－3）两点，由两点式得
＝
整理得：3x＋8y＋15＝0，即直线AB的方程.
直线BC过C(0，2)，斜率是k＝＝－,
由点斜式得: y－3＝－（x－0）
整理得: 5x＋3y－6＝0，即直线BC的方程.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得: ＝
整理得：2x－5y＋10＝0，即直线AC的方程.
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
解：∵cosθ＝ ，0≤θ＜π
∴k ＝ tanθ＝，得y ＝ x－2
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
x－y＋5－4= 0 或 x＋y＋5＋4= 0
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
解法一：设直线方程为 ＋= 1，则有：+= 1, ｜ab｜= 1))
解得a = －1，b = －2 或 a = 2，b = 1
∴直线方程为 ＋= 1或 ＋= 1
解法二：令y－2 = k（x＋2）
从y = 0得x = －－2
从x = 0得y = 2k＋2
∴｜（＋2）（2k＋2）｜＝1
得k = －或k = －2
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
解：设直线方程为 ＋= 1，则有：
＋= 1 得a = 5
∴直线方程为 ＋= 1
又：直线过原点 k = ∴y = x
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
解：设直线方程为y = kx＋b，则有：
b2＋= m2 即 b = ±
∴y = kx±
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
解：设直线方程为y－4 = k（x－4），则：
（4－，0），（0，4－4k）
∴4－= 4－4k＋6 得k = 2或k = －
即y－4 = 2（x－4）或y－4 = －（x－4）
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6，－4)并且斜率等于－的直线方程的点斜式是:
y＋4＝－（x－6）化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
解：将原方程移项,得2y＝x＋6
两边除以2，得斜截式y＝x＋3
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3，
在上面的方程中令y＝0，可得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.
由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（－6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
解法一：求k
解法二：求l与x轴的交点坐标
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x1＞1），则直线l的方程为y－4 = (x－6)
∴ l与x轴的交点为R（，0）
S△＝
10x12－Sx1＋S = 0
由△≥0,得：S≥40
当S＝40时，x1＝2，此时：
x＋y－10 = 0
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
解：设l：y = kx
由 得x = －
由 得x =
∴－＋= 0 k = －
得l：x＋6y = 0
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1‖l2
证明:把l1、l2的方程写成斜截式l1：y＝x＋，l2：y＝x＋
‖
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
解:已知直线的斜率是－,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是－.
根据点斜式,得到所求直线的方程是:
即.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
解:∵所求直线l的斜率k＝－
∴所求直线方程为：y = －x＋b
即：Ax＋By－Bb = 0
也就是Ax＋By＋b′= 0
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
解: 设所求直线方程为 2x＋6y＋b=0
则有：（0，－）,（－,0）
∴S = = 6
b2 = 144 b = ±12
即：2x＋6y＋12=0或2x＋6y－12=0
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l‖AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
解:∵kAC= = －
∴设l：y =－x＋b 且交AB于D
∵l平分△ABC的面积
∴= = = ＋1
∴D点坐标：x =,y =
则：= －＋b
得 b =
∴l：x＋2y－13＋5= 0
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
解:直线的斜率是-2,因为直线与已知直线垂直,所以它的斜率为:
根据点斜式,得到的方程:即.
解法二: 设所求直线方程为 x－2y＋b = 0
则：2－2×1＋b = 0 得b = 0
∴l：
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
解:∵kBH = 2 ∴kAC = －
∴lAC：y－2 = －（x＋10）
又 BC‖y轴 ∴C（6，－6）
解法二:∵kAB = ∴kCH = －8 又H（5，2）
∴lCH：y－2 = －8（x－5）
又BC‖y轴 ∴C（6，－6）
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
解:解方程组
所以, l1与l2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得,所以所求直线方程为
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
解: 当= 时，= ，解得m = －1或m = 3
当= 时，= ，解得m = 3
∴（1）当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交
（2）当m =－1时，l1‖l2
（3）当m = 3时，l1与l2重合。
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
解: 当m = 0时，l1：x＋6 = 0，l2： x = 0，此时l1‖l2
当m≠0时，= 得m = 3或m = －1
= 得m = 3
∴（1）当m = 0或m = －1时，l1‖l2
（2）当m = 3时，l1与l2重合
（3）当m≠0，m≠－1且m≠3时，l1与l2相交。
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
解：（1）根据点到直线的距离公式得
（2）因为直线平行于y轴，所以
例26：求平行线和的距离.
解:在直线上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离.因此:
.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
略解：（0，－）∈l1
d =｜A·0＋B×(－)＋C 2｜/=｜C 2－C 1｜/
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
解：设P（x，y）是所求直线上一点，则：
= 2
｜3x－7y＋5｜= 2
∴ 3x－7y＋5±2= 0
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
解一：设P（x,y）是角平分线上任意一点，则：
= 得 5（x＋y－2）＝±（7x－y＋4）
即：x－3y＋7 = 0（舍）或 6x＋2y－3 = 0
解二：∵k1= －1，k2= 7
∴ ＝ 得 k = （舍）或 k = －3
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
解：∵l与x轴不垂直
∴可设l的方程为：y－2 = k (x－1) 即：kx－y＋2－k = 0
得：=
k = －或 k = －4
∴所求直线方程为：4x＋y－6 = 0 或 3x＋2y－7 = 0
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
解：∵两平行线间的距离为：= 4
∴所求直线与平行线的夹角为45 0，设其斜率为k，则：
｜,1＋k)｜= 1 解得k = －或 k = 7
所求直线方程为：y－1 = 7(x－1) 或 y－1 = －(x－1)
即：7x－y－6 = 0 或 x＋7y－8 = 0
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
略解：x＋3y＋5＋λ(x－2y＋7) = 0
将A（2，1）代入得：λ＝－
∴l：3x－41y＋35 = 0
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
略证：方程化为x－2y＋5＋m（2x＋3y－18）= 0
∴ 得（3，4）