留数定理在解决积分问题时，犹如破题神器，关键在于将积分转化为适合复积分的形式，并选择恰当的围道。常见的方法包括处理[公式] 形积分，其通过半圆围道来简化计算，利用定理[公式] 及其推论。对于带奇点的函数，小圆弧引理和挖点技巧不可或缺。
例如，计算[formula] 时，首先验证函数满足留数定理条件，然后确定留数并应用长大不等式。特殊情况下，如果[formula] 且无实根，可以直接计算。对于[formula] 类型的积分，需要考虑复数部分，选取实部或虚部得到结果。
矩形围道在涉及指数函数时显得自然，通过变形和留数定理，解决[formula] 的积分。有时候，即使不用矩形，也能通过其他策略，如利用三角函数的性质，求解[formula] 积分。
留数定理的应用广泛，涵盖三角函数积分、特殊积分形式如[formula]，以及涉及对数函数的复杂问题。通过巧妙构造围道和利用相关定理，我们可以化繁为简，求得积分答案。例如，对于[formula]，通过扇形围道和Frensel积分，我们能得出[formula]。
最后给出一些习题，供读者进一步练习留数定理的应用：