极限的有界性是什么？

Question

如题所述

Answer 1

极限和有界的关系可总结为以下两个结论：

1. 如果一个函数在某个点的极限存在（即极限有限），则该函数在该点的邻域内是有界的。换句话说，如果函数在某个点的极限存在且有限，则函数在该点的某个邻域内有界。

2. 如果一个函数在无穷远处的极限存在（即极限有限），则该函数在全体实数范围内是有界的。换句话说，如果函数在无穷远处的极限存在且有限，则函数在全体实数范围内有界。

这两个结论表明，极限有限的函数在某个点附近或在整个实数范围内都是有界的。然而，需要注意的是，有界的函数不一定在每个点处的极限都存在或有限。因此，有界性是极限存在的一个充分条件，但不是必要条件