(1)小题,设S=lim(n→∞)∏[1+(2i-1)a²/n²]。两边取
自然对数,有lnS=lim(n→∞)∑ln[1+(2i-1)a²/n²]。
而,n→∞时,(2i-1)/n²→0,∴应用等价无穷小量替换,有∑ln[1+(2i-1)a²/n²]~∑(2i-1)a²/n²]=a²。∴lnS= a²,∴lim(n→∞)∏[1+(2i-1)a²/n²]=e^a²。
(2)小题,设S=lim(n→∞)∏cos[√(2i-1)a²/n]。两边取自然对数,有lnS=lim(n→∞)∑lncos[√(2i-1)a²/n]。
而,n→∞时,√(2i-1)/n→0,∴应用等价无穷小量替换,有∑lncos[√(2i-1)a²/n]~∑ln[1-(2i-1)(a^4)/(2n²)]~-∑(2i-1)(a^4)/(2n²)]=-(a^4)/2。∴lnS= -(a^4)/2,∴lim(n→∞)∏cos[√(2i-1)a²/n]=e^(-a^4/2)。
供参考。
追问麻烦解释一下∑(2i-1)a²/n²]=a²。
谢谢
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