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问题描述:
1.f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域f(x+a)+f(x-a) (a>0) 答案是[-a,1-a].能否解释下为什么?我的思路是0<(x+a)<1 0<(x-a)<1,然后求交集.但是求出来是空集....请各位高手帮下忙.谢谢2.双曲正弦函数y=shx的反函数arshx=In[x+(根号x^2 +1)]是怎么推的?请写出详细的推算过程.谢谢!
解析:
第一题
解释是它错了，[-a,1-a]是函数f(x+a)的定义域，而f(x-a)的定义域不可能与前者重合，所以应该是答案错了。
f(x+a)的定义域为[-a,1-a]，f(x-a)的定义域为[a,1+a]，因为a>0，所以a>-a,1+a>1-a，仅当1-a>a时，这两个定义域有交集，也就是说，当a>0.5时定义域时空集，而当0<a<0.5时，有定义域为[a,1-a]
第二题
因为y=arshx是x=arshy的反函数，因此，从
x=[e^y-e^(-y)]/2
中解出y来便是arshx，令u=e^y，则有
u^2-2xu-1=0
这是关于u的一个二次方程，它的根为
u=x+[根号(x^2 +1)]或x-[根号(x^2 +1)]
因u=e^y>0，故上式根号前应取正号，于是
u=x+[根号(x^2 +1)]
由于y=lnu，故得
y=arshx=ln{x+[根号(x^2 +1)]}