求单位圆内接正n边形的周长与边数的函数关系

Question

如题所述

Answer 1

圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径,长度为R.

这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.这样,每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,

设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线,在分成的一个直角三角形里用三角函数：

sin((2π/n)/2)=(x/2)/R

x=2Rsin(π/n).

设边心距为y,y=Rcos(π/n)

每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2

=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2

=R*Rsin(π/n)cos(π/n)

=R*Rsin(2π/n)/2

正多边形的面积

=R*Rsin(2π/n)/2 × n

=nR*Rsin(2π/n)/2

扩展资料

主要思想是用“相似三角形”来做。

内、外一条边，分别连接边的端点与圆心，得到一大一小两个等腰三角形，这两个三角形相似，证明略；边长a，b之比即为两等腰三角形底边上的高之比。大三角形的高为圆半径r。小三角形的高为r*cos（360°/2n）。（因为是正n边形）故b=a/cos(360°/2n).

周长L=2nr*sin（180/n）°，绝对不要写成180°/N，而是(180/n)°，粗心大意的人往往第一步就写成XX°/n，后面不用看了，一分拿不到，白算半天。

面积S=n/2*R^2*sin（180/n)°*cos(180/n)°。

sinA*cosA=1/2sin（2A），所以还可以化简，S=n/4*R^2*sin（360/n）°

Answer 2

圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径，长度为R。这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形。这样，每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R, 设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线，在分成的一个直角三角形里用三角函数： sin((2π/n)/2)=(x/2)/R x=2Rsin(π/n). 设边心距为y,y=Rcos(π/n) 每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2 =Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2 =R*Rsin(π/n)cos(π/n) =R*Rsin(2π/n)/2 正多边形的面积 =R*Rsin(2π/n)/2 × n =nR*Rsin(2π/n)/2 本回答被网友采纳