求点P轨迹方程 （详细过程）

Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A(1,0),B(0,-1)，动点P(x,y)满足→OP=m→OA+(m-1)→OB(m∈R)【→是在字母头上的】
（1）求点P轨迹方程
（2）设P点的轨迹与双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于相异的两点M,N，若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率为2，求双曲线方程

Answer 1

平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两定点(A1,0),B(0,-1),动点P(x,y)满足:向量OP=m向量OA+(m-1)向量OB(m属于R)
1)求点P的轨迹方程.
2)设点P的轨迹方程与双曲线C: (a>0,b>0)交于相异两点M,N.若以MN为直径的圆经过原点,且双曲线C的离心率等于根号3,求双曲线C的方程.
解答：⑴因为两定点(A1,0),B(0,-1),动点P(x,y)满足:
向量OP=m向量OA+(m-1)向量OB(m属于R)
所以点P、A、B共线
从而点P的轨迹方程为直线AB
即：点P的轨迹方程为：
⑵设M（ ）、N（ ）
由1）可知：点p轨迹方程：x-y-1=0
双曲线C:
联立上述方程，消去y得：

又因为交于相异两点M,N.若以MN为直径的圆经过原点，
所以有：向量OM⊥向量ON
所以有：

①
又因为 ②
联立①②可得： 。
所以所求曲线方程为：

Answer 2

（1）因为向量OP=m向量OA+(m-1)向量OB(m∈R)
所以向量OB+向量OP=m(向量OA+向量OB)
所以（x,y-1）=m(1,-1)
所以x=m，且y-1=-m
所以点P轨迹方程为y=-x+1