设随机变量x与y相互独立，都服从参数为1的指数分布，求P{X<Y}

Question

设随机变量x与y相互独立，都服从参数为1的指数分布，求P{X<Y}

Answer 1

对参数为 入1，入2的两个指数分布X1,X2
P(X1>X2)=入1/(入1+入2)

1/(1+1)=1/2

X~E(a),Y~E(b)为例
P(X>Y)
∫(0~)∫(0~y)abe^(-ax-by) dxdy
=∫(0~) (1-e^(-ay))be^(-by) dy
=(1-e^(-by))+b(e^(-a-b)y)/(a+b) |(0~)
=1+0-(0+b/(a+b))
=1-b/(a+b)
=a/(a+b)

同理
P(X<Y)
=b/(a+b)

或曰 1-P(X>Y)=P(X<Y)=b/(a+b)