怎么用初二的知识解一元一次微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

先解这个微分方程的特征方程的解：
y" = d(y')/dx = y'
d(y')/y' = dx
两边同时积分，得到：
ln(y') = x + c
y' = e^c * e^x = Y * e^x
当 Y 也为 x 的函数时，则有：
y" = d(y')/dx = dY/dx * e^x + Y * e^x = y' + dY/dx * e^x
代入原微分方程，得到：
dY/dx * e^x = x
则：
dY = x * e^(-x) dx
两边同时积分，得到：
Y = x * [-e^(-x)] + ∫e^(-x) dx
= -x * e^(-x) - e^(-x) + C1
= -(x+1) * e^(-x) + C1
那么：
y' = dy/dx = Y * e^x = -(x+1) + C1 * e^x
dy = -(x+1)dx + C1 * e^x * dx
两边同时积分，得到：
y = -1/2 * (x+1)² + C1 * e^x + C2