勾股定理的证明方法
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。
二、赵爽弦图的证法（图2）
第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的
角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）
这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为
的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
勾股定理
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古埃及人利用打结作RT三角形
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 勾股定理的来源：
毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 常用勾股数3 4 5;6 8 10;5 12 13;8 15 17
毕达哥拉斯
有关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股书籍》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社 毕达哥拉斯树 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。 利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论： 三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
[编辑本段]最早的勾股定理应用
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 ∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
[编辑本段]《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] —— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。
《周髀算经》证明步骤
“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 注意： ① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。 ② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 ③ 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。 由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。 其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。”
赵爽弦图
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。 下为赵爽证明——
青朱出入图
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）．由此便可证得a^+b^2=c^2;
。 如下: 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a的平方+b的平方=c的平方; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
[编辑本段]勾股定理的5种证明方法
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
【证法1】（梅文鼎证明）
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
【证法2】（项明达证明）
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【证法3】（赵浩杰证明）
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上， 所以a^2+b^2=c^2
【证法4】（欧几里得证明）
作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
【证法5】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为
所以
可以写成
综合这两个方程式，我们得到
换句话说:
一、达纲要求：
1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。
2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。
3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。
5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。
二、重点提示
1、重点 勾股定理及其应用
2、难点 勾股定理及其逆定理的证明
3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算
三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。
2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。
四、典型考题示范
例1.若ΔABC的三外角的度数之比为3：4：5，最长边AB与最小边BC的关系是______。
分析：因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°，所以三外角的和为360°，这样三个外角的度数分别为90°，120°，150°，因而三角形之内角的度数分别为90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系。
解：设三角形的三个外角分别为3α，4α，5α，则有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三个角度数为∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC为含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
填 AB=2BC
评注：本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。
例2.如图3-180，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 1 B.3 C.6 D. 非以上答案
分析：因为P点到各边的距离都相等，因此可以考虑用面积法求这个距离，由∠B=90°，AB=7，BC=24，由勾股定理可以求出AC的长，所以用面积公式可以求出P点到各边的距离，为此要连结PA、PB、PC。 图3-180
解：由勾股定理得，AC2=AB2+BC2=72+242=252, ∴AC=25，设P点到各边的距离为r，连结PA、PB、PC，依三角形的面积关系有SΔABP+SΔBCP+SΔACP=SΔABC
即
得（7+24+25）r=7×24，∴r=3
评注：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而根据面积关系和面积公式得到关于垂线段的方程，通过解方程，求垂线段的长。用面积法求直角三角形中有关线段的长是各地中考命题的热点。
例3.如图在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：要求四边形的面积可以将四边形转化为三角形通过先求三角形的面积，再求四边形的面积，为了便于利用已知边和角，在作辅助线时，尽量保持已知边和已知角，为此连结四边形的对角线的方法和作AB、DC的延长线均不可取，作BC的延长线与AD的延长线相交于点E，即保留了已知边和已知角，又得到了两个含30°角的直角三角形，使问题变得简单易解。
解：作BC的延长线交AD的延长线于点E
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°
在RtΔCDE中，∠CDE=90°，CD=1
∴CE=2，
在RtΔABE中，∠ABE=90°，AB=2，∠A=60°
∴AE=4，
又∵S四边形ABCD=SΔABE-SΔCDE
评注：本题解答的关键是构造特殊的直线三角形，并且这些特殊三角形以已知线段为边。
五、错例剖析
[例1]已知等腰三角形的底角等于15°，腰长等于2a，求腰上的高。
已知如图3-189，ΔABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，BD是高，求BD的长。
错解：∵∠BAB=∠ABC+∠ACB
∴∠DAB=15°+15°=30°
又∵BD是高，∴在RtΔABD中，AD=AB=a 图3-189
由勾股定理得：
剖析：解析几何问题时，画图很重要，画得准确、规范，可以利用图形的直观，对解题有帮助作用，画得不准则容易造成错觉，本题就是由于作图的不准，误认为∠DBA=30°
改正：如图3-190
∵∠DAB=∠ABC+∠C，∴DAB=15°×2=30°
∵BD是高，∴RtΔABD中，BD=AB=a 图3-190
[例2]若直角在角形的两条边长为6cm，8cm，则第三边长为_____cm。
错解：设第三边长为xcm，由勾股定理得：
62+82=x2,即第三边长为10cm。
剖析：题目中没有已知第三边是斜边还是直角边，需要讨论，这里误认为是斜边，所以，解答不完全。
改正：设第三边长为xcm
若第三边长为斜边，由勾股定理得
若第三边长为直角边，则8cm长的边必是斜边，由勾股定理得
[例3]已知在ΔABC中，三条边长分别为a, b, c，且a=n，,（n为大于2的偶数），
求证：ΔABC是直角三角形。
错误：由勾股定理，得a2+b2=c2
a2+b2=
∴ABC是直角三角形。
剖析：根据三角形的边的关系，判定是否直角三角形，可以用勾股定理的逆定理来解决，这里错误地应用了勾股定理，首先就把ΔABC当成了直角三角形。
改正：a2+b2=
∴ΔABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）
[例4]在ΔABC中，已知∠C=90°,AB=10,∠A=45°,求BC的长。
错解：∵∠C=90°,∠A=45°∴∠B=90°,∠A=45°
∴∠A=∠B ∴BC=AC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2
∴2BC=10,∴BC=5
部析：上述解答中，“将2BC2=AB2”中的指数约去，这一步显然是错误的。
改正：∵∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°
∴∠A=∠B，AC=BC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即2BC2=AB2，
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