高中数学排列组合

Question

有2道题不会。
一.关于排列组合综合题的。
已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有4件次品为止。若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（我要过程，越充分越好）答案576。

二.关于二项式定理
求展开式系数的最大（小）值问题，都可以转化为求绝对值的最大值。
如：求（a+bx）^n 展开式系数的最大项，设展开式为A₀ + A₁x¹ + A₂x² + A₃x³ + … + An x^n
展开式的各项系数依次为A₀、A₁、A₂、A₃、…、An，设第k+1项的系数最大，因为第k+1项对应的系数为Ak，所以
A k≥A k-1
A k≥A k+1 【k、k+1都是下标】
这样解出的k来（对应的是第k+1项）就是系数最大项。
这是书上的标准解法，到这里我有一个问题——这样求出的是最大值吗？我觉得只是极大值而已，比前一项和后一项都大，不是极大值吗？为什么也是最大值，难道展开式的系数的绝对值的函数图像肯定只有一个峰吗？怎么证明？

Answer 1

1）
前4件中有一件是真品，就有C(4,1)*C(6,1)种可能
前5件剩下的4件都是次品，就是P(4,4)=4!种可能
所以有4*6*4！=576种可能
设b/a=t
2)|A(k+1)/Ak|=|t|C(n,k+1)/C(n,k)+|t|[n!/((k+1)!(n-k-1)!)]/[n!/(k!(n-k)!]=|t|k!(n-k)!/[(k+1)!(n-k-1)!]=|t|(n-k)/(k+1)
当|t|(n-k)/(k+1)=1时即k=（|t|n-1）/(|t|+1)时，|Ak+1|=|Ak|
当k>(|t|n-1)/(|t|+1)时，|A(k+1)/Ak|<1,数列|Ak|为递减数列，
当k<(|t|n-1)/(|t|+1)时，|A(k+1)/AK|>1,为递增数列

给定了a,b以及n后，（|t|n-1)/(|t|+1)是一个定值，且这个值<（|t|n+n）/(|t|+1)=n
所以随着k的增大，数列|Ak|的增减性最多只改变一次，|t|n<1时一次都不会改变，|Ak|始终是递减数列，故最大值最多只在一处出现。
但是有可能有两个相邻的点都是峰值，即k=(|t|n-1)/(|t|+1) 时，|Ak|和|Ak+1|相等，但是这两项一定是相邻的，不可能出现不相邻的两个峰值。
举个例子a=1,b=2,n=5，即（1+2x)^5=3时
此时t=b/a=2,k=(2*5-1)/(2+1)=3，
Ak对应的是第4项系数，Ak+1对应的是第5项系数
第4项系数为C(5,3)*2^3=80，第5项系数为C(5,4)*2^4=80
，所以有可能会出现相邻两项都是最大值，但是不可能出现不相邻的两项同时出现极大值。

Answer 2

一
4件次品检测次序有A(4,4)=24种排列
6件正品有一件在前4次中的一次碰上，共是4×6种可能
所以总共是4×6×24=576种可能。

二
若有多个极大值或极小值点，比较这些点的值以及与端点的值，进而得最大值或最小值。
一般地，二项式的系数的值连成曲线将是近似于开口向上或开口向下的二次曲线 ，只有一个极大值点或极小值点，同时这点也将是最大值或最小值点，不用与端点值的大小相比较。不用考虑那么复杂的情况。

参考资料：6楼

本回答被提问者采纳

Answer 3

第一题：
若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，说明第五次测试出的是次品，这件次品是四个中的某一个，有C(4,1)=4种可能。前面四次测试中，有三件次品，一件正品，这三件次品全排列A（3，3）=6【这里要注意一个问题，就是你已经把最后一个单独拿出来算有4种可能性，算这三个的全排列的时候不要写成A（4，3）！】那件正品是第几次检测出来的呢？这个也有4种情况（这个你可以用插入空档来帮助理解），而这件正品是六件中的一件，6种可能。所以最后结果是4*6*4*6=576

第二题：
这个不用考虑太多，是只有一个极值，证明的话比较麻烦，就不写了。
如果真遇到这种题目，因为你要求的是第几项系数最大，列方程求解k,满足条件
A k≥A k-1
A k≥A k+1
不止一个解的话，必然得到多个k，也就是有多个极值了，事实上不会出现这种情况的。

Answer 4

第一题：

由题意：第5件一定是次品，前4件中肯定含有3件次品，

不如看成填5个空吧！

首先填第5个空，有4件次品4种选择，故有 4 种填法

再前面4个空先填入剩下的3个次品，有 4x3x2=24 种选择

剩下的1个空，在6个正品中选一个放入，故有 6 种

由于是填空是相互独立的3个事件 有4x24x6=576种

第二题；

楼主，其实这不用想那么麻烦，姑且把这些离散的点连成线吧！不管图像怎么变

化，你所得到的值至少是极大值或者极小值

分析：

（一）若图像一直递增或递减，用你上述方法显然将得不到一个K，由定理（单

调连续的函数在闭区间上的端点处取得最值）知，图像必在端点处取得最大值或

最小值

（二）若图像时增时减，用你上述方法将会得到一个或多个极大值点或极小值

点，则：

（1）若得到多个K值，说明有多个极大值或极小值点，比较这些点的值以

及与端点的值 进而得最大值或最小值

（2）若只得到一个K值，说明在此区间上只有一个极大值或极小值点，比

较这点的值与端点的值 得到最大值或最小值

其实，一般地，二项式的系数是离散的一些点 若连成曲线将是近似于开口向上

或开口向下的二次曲线 图形将是一个 单峰函数 即：只有一个极大值点或极

小值点，同时这点也将是最大值或最小值点，一般不比较与端点值的大小

希望能帮到你。。。

参考资料：我就是我。。。曾义和

Answer 5

第一题
4件次品按检测时间次序有A(4,4)=4!=24种排列
6件正品有一件在前4次中的一次碰上，共是4×6种可能
所以总共是4×6×24=576种可能。

第二题
标准解法并没有指定特殊的k值，所有可能的峰值项都会由此解出来，解出多少个就是多少个，然后从中比较选出最大值。所幸结果是唯一的，不需要比较。解的过程就是证明的过程。