设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，…，n-1，且方阵B与方阵A相似，则行列式|B+E|=______（其中E是n阶单位阵

Question

设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，…，n-1，且方阵B与方阵A相似，则行列式|B+E|=______（其中E是n阶单位阵）

Answer 1

由于方阵B与方阵A相似，因此A与B具有相同的特征值
∴B的特征值为0，1，2，…，n-1，
∴B+E的特征值为1，2，…，n-1，n
∴|B+E|=1•2•…•n=n!

特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

Answer 2

由于方阵B与方阵A相似，因此A与B具有相同的特征值
∴B的特征值为0，1，2，…，n-1，
∴B+E的特征值为1，2，…，n-1，n
∴|B+E|=1?2?…?n=n!本回答被提问者采纳