圆锥曲线求解

Question

已知椭圆C：a平方分之x平方加b平方分之y平方等于一-（a＞b＞0）的离心率e＝2分之根号3.直线l：y＝x＋根号2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆o相切，
二：设直线y＝my＋1与椭圆c交于p.q两点，直线a1.r与a2.q交于点s，其中a1.a2为椭圆的左右焦点
问当m变化时.点s是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论。若不是，请说明理由

Answer 1

把（0，1）代入方程，得b^2=1，因为b>0,所以b=1
a^2-b^2=c^2,e=c/a，代入求解得a^2=4,因为a>0，所以a=2

直线x=my+1是过定点(1,0)的直线，且在当m=0时有x=1，此时直线垂直于X轴，并与椭圆交于关于X轴对称的2点(1,±√3/2)，此时A'就是B，因此无法做出直线A'B；
因此，当m在实数范围内取值时，直线A'B可能不存在，所以不会与X轴交于定点

我们把题目改一下，改成m≠0，那么会怎么样呢？
首先，把直线代入椭圆，化简后得到(m^2+4)y^2+2my-3=0，求出A和B的y坐标（这个太烦了，自己算，我不写了），然后随便拿一个作为A（因为随着m的变化，A总会跑到B的位置上去的），把求出的y坐标代入直线得A和B的x坐标，然后把A的y坐标取负，就得到了A'的坐标；
分别设A'(a1,b1),B(a2,b2)，得出直线A'B方程为y=(b1-b2)/(a1-a2)x+k，把a1,b1代入可得k=-2/√(m^2+3) （这个计算也很多，反正算的时候记住不要轻易把平方式解开就行，基本功，慢慢算……)
然后算系数，最后系数是1/[2√(m^2+3)]，这样整个直线方程就出来了，并且和x轴的交点就是y=0的点，也就是(4,0)这个点

解答完毕

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