根号下（1+x）泰勒公式怎么展开

Question

如题所述

Answer 1

根号下（1+x）泰勒公式展开为 f(x)=1+1/2x-1/8x²+o（x^3）

方法一：根据泰勒公式的表达式

然后对根号（1+x）按泰勒公式进行展开。

方法二：利用常见的函数带佩亚诺余项的泰勒公式

将a=1/2代入，可得其泰勒公式展开式。

扩展资料：

1、麦克劳林公式（泰勒公式的特殊形式x0=0的情况）

2、泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

（1）佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

（2）施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

（3）拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

（4）柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

（5）积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

参考资料：百度百科-泰勒公式

Answer 2

根号下（1+x）的泰勒公式展开可以用泰勒级数来表示。泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，通过函数的各阶导数来展开。

根号下（1+x）的泰勒公式展开如下：

f(x) = √(1 + x) = √(1) + (1/2) * x - (1/8) * x^2 + (1/16) * x^3 - (5/128) * x^4 + ...

泰勒公式展开中，每一项都是x的幂次递增，并且系数是通过函数的各阶导数计算得到的。在这里，一阶导数为1/2，二阶导数为-1/8，三阶导数为1/16，四阶导数为-5/128，依次类推。

需要注意的是，泰勒级数是一个无穷级数，展开的结果是一个近似表达式，只有在x足够接近0时才会比较准确。当x较大时，需要截断级数来获得更精确的近似值。

Answer 3

根号下（1+x）的泰勒公式展开为 f(x)=1+1/2x-1/8x²+o(x³) 。

可以用以下两种方法进行展开：

根据泰勒公式的表达式，对根号下（1+x）按泰勒公式进行展开。
利用常见的函数带佩亚诺余项的泰勒公式，将a=1/2代入，可得其泰勒公式展开式。

需要注意的是，在展开过程中，求导次数越高，展开式越复杂，因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的展开式。

Answer 4

根号下（1+x）的泰勒展开可以通过泰勒公式来计算。泰勒公式的一般形式如下：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

对于根号下（1+x），我们可以选择以a=0展开。然后我们需要计算f(a)、f'(a)、f''(a)和f'''(a)，分别代入泰勒公式的相应位置进行展开。

f(a) = f(0) = √1 = 1

f'(a) = f'(0) = (1+x)^(-1/2)的导数 = (-1/2)(1+x)^(-3/2)

f''(a) = f''(0) = (-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2)

f'''(a) = f'''(0) = (-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2)

代入泰勒公式的展开式中，得到：

√(1+x) ≈ 1 + (-1/2)(1+x)^(-3/2)(x-0)/1! + (-1/2)(-3/2)(1+x)^(-5/2)(x-0)^2/2! + (-1/2)(-3/2)(-5/2)(1+x)^(-7/2)(x-0)^3/3! + ...

化简整理后，展开式为：

√(1+x) ≈ 1 - 1/2 * x + 1/8 * x^2 - 1/16 * x^3 + ...

这就是根号下（1+x）的泰勒展开式。展开式中的每一项都是x的幂次的多项式，随着幂次的增加，近似程度提高。

Answer 5

根号下（1+x）的泰勒展开可以使用泰勒级数来表示。我们可以将根号下（1+x）展开成无穷级数的形式。展开的泰勒公式如下：
√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4 + (7/256)x^5 - (21/1024)x^6 + ...
这里的 x 是一个接近于 0 的实数。
泰勒展开是一种将一个函数表示为无穷级数的方法，通过计算函数在某个点的各阶导数来得到每一项的系数。在上述的根号下（1+x）的泰勒展开中，系数是根据函数的二阶导数、三阶导数等来计算的。
需要注意的是，泰勒展开是一个近似的方法，其有效性取决于展开点附近的收敛性。在实际应用中，我们通常只取前几项来近似计算。