AC⊥BC于C，AD⊥BD于D，AM=BM,∠ECD=∠EDC.求证：ME是CD的垂直平分线

Question

如图

Answer 1

如图所示

证：

  设EM交DC于点F

∵AC⊥BC于C

∴△BDA为Rt△（Rt△=直角三角形)

在△BDA中，连DM

∵AM=BM  即M为AB中点

∴DM=AM=BM（直角三角形中有这样的一个定理）

同理可证在Rt△ABC中  AM=BM=CM

∴CM=DM  ①

∴在△MDC中，∠MDC=∠MCD

又∵∠ECD=∠EDC

∴∠MDC+∠EDC=∠MCD+∠ECD

即∠EDM=∠ECM  ②

又ED=EC ③

∴由①②③可得△EDM≌△ECM（边角边）

∴∠DEF=∠CEF 且 ED=EC  ∠EDC=∠ECD  (角边角)

∴△EDF≌△ECF

∴DF=CF  ∠EFD=∠EFC=90°

∴ME是CD的垂直平分线

要采纳我的哦

我可是能有多详细就有多详细了哦！！！

Answer 2

按你的图回答：

设，CD中点F，连接EF,MF，DM,CM。
因为,∠ECD=∠EDC，所以三角形CDE是等腰三角形，
因为F是CD中点，所以EF是三角形CDE的高，所以EF垂直平分CD。

另外因为AM=BM，所以M是AB的中点。
因为AC⊥BC于C，AD⊥BD于D，所以DM=AM=BM=CM,也就是说DM=CM
所以三角形MCD是等腰三角形。
同样因为F是CD中点，所以MF是三角形MDE的高，所以MF垂直平分CD。

因为MF交EF于点F，且EF垂直平分CD，MF垂直平分CD。所以点F是EM上的点，EM垂直平分CD。