定积分的值只与被积函数及其积分区间有关
定积分简介:
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
定积分定义:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式。
该和式叫做积分和,设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}(即λ是最大的区间长度),如果当λ→0时,积分和的极限存在,则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分,记为,并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,
函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积表达式,∫叫做积分号。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个常数,而不是一个函数。