高中数学不等式

Question

已知a＞b＞c＞0，求证a的a次方×b的b次方×c的c次方＞（abc）的3分之（a+b+c）次方.
一楼，是证＞，不是≥
二楼，左边杂除右边，问的就是这！！请回答

Answer 1

证明:
不等式是关于a、b、c的对称,不妨设a>=a>=b>=c,
则a-b、b-c、a-c都为正实数,
且a/b>=1,b/c>=1,c/a>=1
故(a^a*b^b*c^c)/(abc)^[(a+b+c)/3]
=a^[(2a-b-c)/3]*b^[(2b-a-c)/3]*c^[(2c-a-b)/3]
=a^[(a-b)/3]*a^[(a-c)/3]*b^[(b-a)/3]*b^[(b-c)/3]*c^[(c-a)/3]*c^[(c-b)/3]
=(a/b)^[(a-b)/3]*(b/c)[(b-c)/3]*(a/c)^[(a-c)/3]
>=1
故a^a*b^b*c^c>=(abc)^[(a+b+c)/3].

Answer 2

欲证不等式，只须证a^3a*b^3b*c^3c>(abc)^(a+b+c)
即左边除以右边大于1
而左/右即
(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(a/c)^(a-c),显然大于1
故不等式成立