等价关系与划分

Question

如题所述

Answer 1

之前我们学习了，关系的基本定义，但在这篇博客中，我们将学习到 一种特殊的关系

假设 R 为非空集合 A 上的关系

如果 R 是 自反的 、 对称的 、 传递的 ，则称 R 为 A 上的 等价关系

这样很抽象我们来举个例子：

假设 ，我们在 A 上定义以下关系 ，用大白话说就是在 A 中找出所有模 3 相等的数，并组成有序对：

按此我们可以写出以下关系：

上面的 R 我没列完全，只列出了余 1 的情况，还有余 2 的情况、余 0 的情况

我们画出 R 的「关系图」：

可以清楚的看到： R 是 自反的 、 对称的 、 传递的 ，所以 R 是一个 等价关系

搞清楚了 等价关系 以后开始搞 等价类 ，

等价类的基本定义如下：

设 R 为非空集合 A 上的等价关系， ，令

称 为关于 R 的 等价类 ，简称 x 的 等价类 ，记为

上面的定义可能很抽象，我们举个例子。

在写出 R 的 等价关系 以后：

其中 1 的 等价类 ，就是关系 R 中跟他搭配过的元素：

再具体的说，等价类就是， 具有相同性质的元素的集合

定义如下：

设 R 为非空集合 A 上的等价关系，以 R 中所有等价类作为元素的集合称为 A 关于 R 的商集 记做：

比如我们之前的例子中 就是

设 A 为非空集合，若 A 的子集族

则称 是 A 的一个划分

举个例子：

假设 则 A 的一个划分可以是：

划分有一个重要的性质： 划分与等价关系一一对应！

我来解释一下这句话，这句话的意思就是一个集合有多少种「划分」就有多少种等价关系，我们来看一道例题：

求出 A = {1, 2, 3} 上的所有等价关系

首先我们写出 A 所有的划分：

所以一共有 5 中划分，也就是五种等价关系：