在托马斯微积分的教程中，我们深入探讨了切线概念及其在数学计算中的应用。首先，让我们理解斜率和切线的基本概念。斜率，即函数在某点处的瞬时变化率，而切线则是该点附近函数图像的直线近似，其斜率等于函数在该点的导数。
接下来，我们通过一些实例来展示如何利用 Mathematica 进行计算。例如，我们定义函数 f[x_] = E^x，并计算从 -2 到 0 和从 1 到 3 的平均斜率：ave[-2, 0] = N[(E^0 - E^-2)/(0 - (-2))]。同样，ave[1, 3] = N[(E^3 - E)/(3 - 1)]，这些计算帮助我们理解函数在不同区间内的平均变化。
对于对数函数 f[x_] = Log[E, x]，我们计算了从 1 到 4 和从 100 到 103 的切线斜率，这展示了不同区间内对数函数的渐进变化。
更进一步，我们探讨了三角函数的应用。f[t_] = Cot[t]，计算了从 Pi/4 到 3 Pi/4 以及从 Pi/6 到 Pi/2 的切线，这显示了正切函数的周期性和变化规律。
接下来，我们处理非线性函数，如 f[t_] = 2 + Cos[t]。通过拟合数据点，我们构建了非线性模型 nl[x_] = Normal[NonlinearModelFit[data, a x^2 + b x + c, {a, b, c}, x]]，并计算了在区间 [3, 5] 和 [5, 7] 内的切线斜率。
当我们遇到更复杂的函数，如多项式和复合函数，如 f[x_] = x^3 + 2x 和 f[x_] = x + 5/x，我们利用 Mathematica 进行精确计算和可视化，探讨了函数在特定点的切线与极限情况。
这些实例不仅展示了 Mathematica 在微积分中的计算能力，还帮助我们理解切线在实际问题中的应用，从简单的线性函数到复杂的非线性模型。通过观察切线的变化，我们可以更好地理解函数的性质和行为。