极限的ε—n定义法例题步骤如下：
用极限定义证明数列极限的关键是对门E>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<E成立,这里的几ε>0,由证题者自己给出。因此,关键是找出N。
极限定义证明数列极限的关键
1、对门E>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<E成立,这里的几ε>0,由证题者自己给出。因此。关键是找出N。那么,如何寻找N呢?
2、显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<E成立。而an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<E,找到使|an-a|<E成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<E的解集。该解集是自然数集N的无限子集,对同一个E,N并不惟一。
3、因此,只需在该解集找出一个作为N即可。这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<E的问题了。
六种方法
1、利用数列极限
2、利用极限性质
3、利用迫敛性
4、利用级数收敛的必要条件
5、利用单调有界原理
6、利用柯西准则
数列极限
设{Xn}为实数列,a为定数.若对任给的正数E,总存在正整数N,使得当n>N时有Xn-a|<E则称数列{Xn}收敛于a,定数a称为数列{Xn}的极限,并记作Xn→a(n→~)读作"当n趋于无穷大时,{Xn}的极限等于或趋于a"。
定理1:如果数列{Xn}收敛,则其极限是唯一的。
定理2:如果数列{Xn}收敛,则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2......),总可以找到一个正数M,使|Xn|<M。
证明：lim(n->∞)(1/n)=0。
证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。
只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε.得证！
老黄的这个证明方法有两处与众不同的地方。
1、老黄会把1/n看作一个关于n的函数f(n)=1/n，并且把ε化成f(g(ε))的形式。这样就可以通过函数f的增减性，判断满足条件的n和g(ε)的关系。
只有当f(n)<f(g(ε))时，所求证的极限才是正确的，这时必须有n>N>g(ε)，所以函数f在正区间上必须是一个减函数，否则不能得证。
2、老黄用的是一种逆向思维的方法，避免了初学者不知道怎么求N与g(ε)的关系的难点。这也是因为老黄实在太笨，才会想到的方法。聪明的人直接就看得出来了。