欢迎来到积分与公式的世界，让我们一起探索这些高阶且常用的数学工具。
狄利克雷积分是基础中的精华，如遇到例题\( \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{x} \, dx \)，其答案隐藏在文末，敬请挖掘。
拉普拉斯积分以其独特形式出现，例如\( \int_0^{\infty} e^{-ax^2} \, dx \)，其中\( a \)是关键参数。
6. 欧拉积分 (Euler)</
欧拉积分的精髓在于公式\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \)，其中涉及的欧拉数为数学迷们的宝藏。
7. Ahmed's integral</与，虽然不常见，但在特定领域中却发挥着关键作用。
1. 伏汝兰尼积分</
当极限不明确时，伏汝兰尼积分提供了解决之道，如\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2} \)，计算时需谨慎处理。
2. 伯努利数乘积积分</，例如\( \int_{0}^{1} x^{n-1}(1-x)^{m-1} \, dx \)，伯努利数赋予了它独特美感。
6. 三角函数递推关系</，这些公式如诗如画，如\( \sin(x+ \frac{\pi}{2}) = \cos(x) \)，揭示了函数间微妙的联系。
以上只是冰山一角，深入理解这些积分与公式，将助力你在数学探索的道路上更进一步。现在，让我们一起解开这些谜题，发现其中的数学之美吧！