高等代数的矩阵解空间和特征值问题

Question

a=(a1,a2,.......an),b=(b1,b2,.....bn)都是n维列向量，其中ai和bi均为非零常数，i=1,2,....n。设矩阵A=a*(b的转置)。也就是A等于列向量a乘以行向量b。
（1）求矩阵A的秩r(A)
(2)求A的平方，A的10次方。
（3）求齐次线性方程组AX=0的通解
（4）求矩阵A的全部特征值与其对应的特征向量。
各位大神帮帮忙啊。

Answer 1

（1）求矩阵A的秩r(A) A的列向量成比例，有a1≠0 ∴r(A)＝1

⑵ 设b′a＝k﹙常数﹚ 有A²＝kA A^10＝k^9 A
⑶ 齐次线性方程组AX=0的通解为向量﹛b1,b2,……，bn﹜在R^n的正交补子空间的全部向量。

⑷ |λE-A|＝λ^n- kλ^﹙n-1﹚

特征值为 λ1＝k λ2＝……＝λn＝0

k的特征向量可以取A﹙1，0，……，0﹚ 注意AA﹙1，0，……，0﹚＝kA﹙1，0，……，0﹚

0的特征向量就是⑶中解空间的非零向量。

Answer 2

全是基本问题, 总不至于一点都不会吧
照着下面的方法做

1. rank(A)=1
2. 自己动手乘一下, 会发现规律的
3. AX=0的通解就是b^TX=0的通解, 也就是所有和b"垂直"的向量
4. rank(A)=1 => A至少有n-1个特征值是0, 余下那个是trace(A), (trace(A)=?你自己算, 不难的), 0对应的特征向量3里面提供了, 剩下那个特征向量看2