对数运算的推导可以追溯到17世纪的英国数学家约翰·内皮尔。他发明了对数和自然对数的概念，这两种对数运算方法至今仍被广泛使用。
首先，我们来看一下对数的定义。对于任意正实数a（a>0且a≠1），如果存在一个实数b，使得a^b=N（a>0），那么我们就说b是a的以N为底的对数，记作log_aN。其中，a被称为对数的底数，N被称为真数。
然后，我们来看一下对数的性质。对数有以下几条基本性质：
1.换底公式：log_ab=log_cb/log_ca。这个公式告诉我们，如果我们将底数从a换成c，那么对数值会相应地改变。
2.对数的加法性质：log_a(M*N)=log_aM+log_aN。这个公式告诉我们，两个数的乘积的对数等于这两个数各自的对数之和。
3.对数的乘法性质：log_a(M/N)=log_aM-log_aN。这个公式告诉我们，两个数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
4.对数的幂性质：log_a(a^n)=n。这个公式告诉我们，一个数的自身乘方的对数等于该数的次数。
5.对数的反对数性质：a^(log_aN)=N。这个公式告诉我们，一个数的对数次方等于该数的真数次方。
以上就是对数运算的基本概念和性质。通过对这些性质的理解和运用，我们可以进行各种复杂的对数运算，如求指数、求幂、求乘积、求商等。