如何用洛必达法则求极限

Question

如题所述

Answer 1

洛必达法则是求未定式极限的有效方法之一，其基本规则是：

将所求极限的函数化为标准形式： lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) x→∞ x→∞

如果满足以下条件，则可反复使用洛必达法则： lim f'(x)/g'(x) 存在 x→∞

如果lim f''(x)/g''(x) 存在，则可将洛必达法则继续使用下去。 x→∞ 下面是一个使用洛必达法则求极限的例子： lim (sinx/x) = lim (cosx/1) = lim (-sinx/0) = -1 x→0 x→0 x→0 注意：在使用洛必达法则时，必须将函数化为标准形式，即分子分母都是可导的函数，且分母导数不为零。此外，洛必达法则只能用于求未定式极限，对于其他类型的极限，必须使用其他方法求解。

Answer 2

lim(x→0) (arctanx - sinx)/x³，洛必达法则
= lim(x→0) [1/(1 + x²) - cosx]/(3x²)
= (1/3)lim(x→0) (1 - cosx - x²cosx)/(x² + x⁴)，洛必达法则
= (1/3)(1/2)lim(x→0) (sinx - 2xcosx + x²sinx)/(x + 2x³)，洛必达法则
= (1/6)lim(x→0) (- cosx + 4xsinx + x²cosx)/(1 + 6x²)
= (1/6)(- 1 + 0)/(1 + 0)
= - 1/6

在求极限中经常用到的等价无穷小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)
等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果。