特征向量怎么求详细步骤

Question

如题所述

Answer 1

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。 

矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。 

通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。

数值计算的原则：

在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。

对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

Answer 2

特征向量是方阵的非零向量，其纯数量表示为特征值。下面是求解特征向量的详细步骤：1. 计算矩阵的特征值首先需要计算矩阵的特征值。我们可以通过解决以下方程来计算：Ax = λx其中A为输入矩阵，x是我们要找的向量，λ为特征值。2. 计算特征值对应的特征向量一旦获得所有的特征值，就可以计算每个特征值对应的特征向量。我们可以通过以下方程来计算：(A-λI)x = 0其中λ为特征值，I是单位矩阵，x是我们要找的向量。通过解决该方程，我们可以得到特征向量x。3. 规范化特征向量为了方便处理，我们需要将特征向量规范化（即使其模长为1）。我们可以通过计算以下公式来实现：x = x/ ||x||其中||x||为向量x的模长。4. 校验特征向量现在我们已经得到了特征向量，需要校验它们是否正确。我们可以用以下方式来校验：Ax = λx将特征向量带入该公式，我们应该得到与特征值对应的结果。如果结果不一致，则表明我们可能犯了错误。5. 重复步骤2-4如果矩阵有多个特征值，则需要重复步骤2-4，以获取所有特征向量。