两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为

Question

R，b卫星离地面的高度为3R，则a、b两卫星周期之比多大？若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？

Answer 1

设卫星a 质量为m1,向心加速度a1,角速度ω1，轨道半径=R+R=2R，地球质量为M,万有引力常量G,
设卫星b 质量为m2,向心加速度a2,角速度ω2，轨道半径=R+3R=4R，m1a1=Gm1M/(4R)^2,
（ω1）＾2＊（2R）＝MG/(2R)^2,
（ω2）＾2＊（4R）＝MG/(4R)^2,
（ω1）＾2/（ω2）＾2=(4R)^3/(2R)^3,
Ta=2π/ω1，Tb=2π/ω2，Ta/Tb=ω2/ω1=1/（2√2），
ω1/ω2=2√2,ω1=2√2ω2,二角速度差为ω1-ω1/2√2
当二卫星相差180度时相距最远,设从同一相位开始到相隔180度所需时间为t,
(ω1-ω1/2√2)*t=π,t=π/[ω1(1-1/2√2)],
卫星a绕地球周期为T1,T1=2π/ω1,
t/T1=π/[ω1(1-1/2√2)]/(2π/ω1)=（4+√2）/7
a卫星至少经过（4+√2）/7个周期后二卫星相距最远．
以上为二卫星同方向时的情况，若是相反方向时则不然。
(ω1+ω1/2√2)*t=π,t=π/[ω1(1+1/2√2)],
卫星a绕地球周期为T1,T1=2π/ω1
t/T1=π/[ω1(1+1/2√2)]/(2π/ω1)=（4-√2）/7
二卫星在反向运行时，a卫星至少经过（4-√2）/7个周期后二卫星相距最远

参考资料：baidu

Answer 2

常见题哦
公式开普勒定律R^3/T^2=k
第二小问就是多走半个周期
自己算吧本回答被提问者采纳

Answer 3

升大四了，好久没有做过高中的天体运动题了。
今天怀念一下当初的烽火岁月。帮你做完这道题吧。
思路肯定是对的。不过，确实生疏了，答案仅供参考。
天体运动题，当初是最简单的了。重力场+电场+磁场+动量定理，高考那道压轴题。。。。。。

第一问：
GM/(R+R)^3=4*PI*PI/Ta^2

GM/(R+3R)^3=4*PI*PI/Tb^2

Ta^2/Tb^2=8/64

Ta/Tb=1/2^1.5
第二问：
设b卫星转过的角度为th2，则a卫星转过的角度th1=8^0.5*th2，得：
相距^2=(4R*sin(th2)-2R*sin(th1))^2+(4R*cos(th2)-2R*cos(th1))^2
将式子展开得：

=4R^2*[4+1-sin(th2)*sin(th1)*4-cos(th2)*cos(th1)*4]

其实就是求三角函数式
cos(th1)*cos(th2)+sin(th1)*sin(th2)=cos(th2-th1)=cos(th1-th2)的最小值

cos(th1-th2)的最小值，显然是-1。

再接着算：
cos[（8^0.5-1）*th2]=-1 th2要最小的

（8^0.5-1）*th2=3/4*pi

th2=3*pi/[4*(8^0.5-1)]

时间={3*pi/[4*(8^0.5-1)]}/b的角速度

a的周期数=时间/a的周期=0.5801