定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)| ≤M成立，则称f(x)是D上的有界函

Question

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)| ≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。已知函数 ；（1）当a=1时，求函数f(x)在(-∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(-∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f(x)在[-∞，0)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明。

Answer 1

解：（1）当a=1时， ， ∵f(x)在(-∞，0)上递减，所以 ，即f(x)在(-∞，0)的值域为(3，+∞)， 故不存在常数M＞0，使 成立， 所以，函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数。 （2）由题意， 在[1，+∞)上恒成立， ， ， ∴ 在[0，+∞)上恒成立， ∴ ， 设 ， ， ， 由x∈[0，+∞)，得t≥1，设 ， ， ， 所以，h(t)在[1，+∞)上递减，p(t)在[1，+∞)上递增， h(t)在[1，+∞)上的最大值为h(1)=-5，p(t)在[1，+∞)上的最小值为p(1)=1， 所以实数的取值范围为[-5，1]。 （3）定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意 ，存在常数M＞0，都有 成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。 例如 ，有 ； 证明： ， ∴命题成立。