高等数学，曲线积分

Question

如题所述

Answer 1

（1）令P=y/[(x-1)^2+y^2] Q=-(x-1)/[(x-1)^2+y^2]
dP/dy=[(x-1)^2-y^2]/[(x-1)^2+y^2]^2 dQ/dx=[(x-1)^2-y^2]/[(x-1)^2+y^2]^2
因为P和Q在区域D：x^2+y^2-2y=0内是连续的
根据格林公式，原式=∫∫(D) (dQ/dx-dP/dy)dxdy=∫∫(D) 0dxdy=0追问

错

分母要挖点

追答

我改过了，第一问是可以用格林公式的，因为不连续点(1,0)在圆周外
（2）在椭圆内构造一个小圆周M：(x-1)^2+y^2=r^2，则令D为椭圆L内挖掉小圆M后的区域，根据格林公式，∫(L+M) Pdx+Qdy=∫∫(D) (dQ/dx-dP/dy)dxdy=0
即∫(L+M-) Pdx+Qdy=∫(L) Pdx+Qdy+∫(M-) Pdx+Qdy=0
∫(L) Pdx+Qdy=∫(M) Pdx+Qdy
令x-1=rcost y=rsint
原式=∫(0,2π) (-r^2sin^2t-r^2cos^2t)/(r^2cos^2t+r^2sin^2t)dt
=∫(0,2π) -dt
=-2π

Answer 2

追答

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